x↑y = x^y

또, ↑↑는 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

x↑↑2 = x↑x = x^x

x↑↑3 = x↑(x↑x) = x^xx

...

x↑↑y = x↑(x↑↑(y-1)) = x↑x↑x↑.....↑x (y개) = x^xx... (y개)

마찬가지로 ↑↑↑는 다음과 같이 정의한다.

x↑↑↑2 = x↑↑x

x↑↑↑3 = x↑↑x↑↑x

...

x↑↑↑y = x↑↑(x↑↑↑(y-1)) = x↑↑x↑↑x↑↑...↑↑x (y개)

이와 같이 하여 ↑↑↑...(n개)...↑ = ↑ⁿ를 정의한다.

x↑ⁿ2 = x↑^n-1x

x↑ⁿy = x↑^n-1(x↑ⁿ(y-1))

이 정의를 이용하여 함수 G(x)를 다음과 같이 정의한다.

G(x) = 3↑^x3

이 때, G⁶⁴(4)를 그레이엄수라 한다.

G(X)를 계산해 보면,

G(1) = 3↑3 = 3³ = 27

G(2) = 3↑↑3 = 3↑(3↑↑2) = 3↑(3↑3) = 3↑27 = 7625597484987

G(3) = 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑↑2) = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑G(2) = 3↑↑7625597484987

G(4) = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑G(3)

이처럼 급격히 증가하여 이미 G(3) 이후부터 계산이나 표기가 곤란하다.

G²(4) = G(G(4)) = 3↑.....{G(4)개}.....↑3

G³(4) = G(G²(4))