A^4=E 이면 A^2=E 또는 A^2=-E 임을 증명하시오.

(1,1)을 a, (1,2)를 b, (2,1)을 c, (2,2)를 d로 하는 이차 정사각행렬를 A^2이라고 하자.
케일리 헤밀턴 정리를 이용하면

A^4-(a+d)A^2+(ad-bc)E=O 가된다.

라지에이의 네제곱이 단위행렬이므로, (a+d)A^2=(ad-bc+1)E로 정리할 수 있다.

여기서 증명해야할 것은 에이의 제곱이 단위행렬 또는 마이너스 단위행렬이 맞는지 이므로, A^2에 대해 정리해야 한다.

이때 (a+d)가 0인지 아닌지에 따라 정리하는 법이 달라지므로 나눠서 생각한다.

1) (a+d)=0일때

ad-bc=-1이므로 모순.

2)a+d≠0일때
A^2=(ad-bc+1)E/(a+d)
A^2=kE (위의 단위행렬의 계수를 k로 치환)
A^4=E에 대입하면 k^2E=E
(k^2-1)E=O
(k-1)(k+1)E=O

따라서 k=1 또는 k=-1이므로 A^2=E 또는 A^2=-E.


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여기서 문제는 첫번째 경우가 왜 모순인가 였습니다.

일단은 해결은 det(A^2)=-1이 될 경우 det(A)가 허수가 되기 때문이라고 라고 봤는데....

문제집에 보면 오메가 같은 걸 인수로 두는 행렬이 분명 있었단 말이죠.

그렇다면 실은 제대로된 것이 아닐 것 같긴 한데...

고2의 짧은 머리로는 잘 모르겠습니다.
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글 리젠률이 학기중이라 그런지 적군요...